Le gueblo du Cobab

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En guise d’hommage à Mandelbrot

Un brouillon d’arrangement sur une mélodie autosimilaire d’ordres 3 et 4 — partez pas, ça fout les jetons comme ça mais c'est hyper simple.

Le grand Mandelbrot inventeur des fractales est mort, et on m’’a amicalement suggéré de mettre en ligne un bout de truc que j’ai commis, même en son état actuel de brouillon (qu’il n’a que peu de chances de dépasser dans un futur proche n’importe comment, parce qu’il y faudrait un musicien et pas un bricolo à deux balles). Voilà :

C’est dans un article de J.-P. Delahaye dans Pour la science de novembre 2004, à propos des recherches de Tom Johnson (pas trouvé en libre accès, achetable ici : « La musique mathématique de Tom Johnson », Pour la science, 325, nov. 2004), que j’ai découvert les mélodies autosimilaires.

L’autosimilarité (par changement d’échelle) est assez simple à comprendre ; l’article de Wikipédia est tout ce qu’il y a de sommaire, mais il nous fournit deux dessins très clair du flocon de Koch, la plus connue des figures autosimilaires :

Construction du flocon de Koch. Construction du flocon de Koch (à poursuivre à l’infini)

Visualisation de l'autosimilarité du flocon de Koch. Visualisation de l’autosimilarité du flocon de Koch

En clair, un objet autosimilaire est un objet dont l’aspect ne change pas si on zoome ou dézoome d’un facteur précis. (Évidemment le flocon entier pose une limite au dézoomage ; mais pas la courbe de Koch, construite en ne prenant qu’un des côtés du triangle, qui ne se referme pas.)

Il y a de très nombreuses façons d’appliquer ce concept à la musique. Celle qui était expliquée dans l’article cité plus haut consiste à zoomer le temps, c’est-à-dire à jouer n fois plus vite. Comme le dit très clairement E. Amiot de l’Ircam (qui bosse depuis un bail sur les applications musicales des structures mathématiques) dans son mémoire de thèse :

Les mélodies autosimilaires sont des mélodies périodiques (qu’on imagine infiniment longues) jouissant de la propriété suivante : si on a convenu d’une unité de temps telle que toutes les notes se produisent à des abscisses entières, alors en extrayant une note tous les a temps on obtient une copie conforme (jouée a fois plus lentement) de la mélodie originale.

(Je fais grâce aux non-matheux de la formule à base de Z/kZ, elle est très claire dans le PDF et faudrait jongler grave avec le wiki pour la reproduire de manière satisfaisante.) Il enchaîne avec un exemple connu :

Comme on le voit ci-dessous, la cellule célèbrissime qui fonde le premier mouvement de la 5e symphonie de Beethoven se retrouve quand on ne joue qu’une note sur trois — et donc a fortiori quand on joue une note sur neuf, etc.

Exemple minimaliste mais intéressant pour nous parce que j’avais commencé à réfléchir sur cette même structure à quatre notes similaires par zoom 3. Appelons les quatres notes A, B, C et D ; on a :

  • Mélodie de base (triplée) :
A B C D A B C D A B C D
  • Mélodie trois fois plus lente :
A     B     C     D

Donc B = D, A et C sont des points fixes. Toute mélodie de 4 notes sur le schéma ABCB est autosimilaire par zoom 3. (Celle de Ludwig citée plus haut présente en plus C = B.)

Un truc qui vient en tête immédiatement est que chaque partie peut servir de basse à la suivante. Exemple avec un arpège bidon en la mineur (la mi do mi, en basse d'Alberti donc), chaque partie décalée d’une octave (inutile d’écouter jusqu'au bout, mais j'ai tenu à mettre le gimmick en entier même pour la partie la plus basse) :

Bon, ça fait un peu sonnerie de téléphone ; mais on entend la structure à l’écoute, et c'est ça qui m’intéresse.

En revanche en est très vite limité harmoniquement dans ce genre de structure ; si chaque ligne enrichit celle d’en dessous, chaque note qui est jouée est accompagnée uniquement d’elle-même : les enrichissements harmoniques ne viennent que des notes qui suivent (et dans mon exemple on sort pas du la mineur, forcément). D’où l'idée, qui sans quitter une conception formelle de la mélodie (on ne s'occupe pas de l’onde matérielle elle-même) y importe quand même un élément physique : si l’on joue la mélodie trois fois plus vite, on doit tripler la fréquence… soit un écart d’une octave plus une quinte entre deux parties. De cette manière on obtient des accords plus riches, en restant à peu près dans l’harmonie. Exemple toujours sur le même motif :

C'est sur ce principe qu’est construit le morceau ouvrant le billet. Un motif de onze notes (dont deux suites de trois notes identiques jouées comme une seule), qui a la particularité d’être autosimilaire aussi bien selon un rapport 3 que selon un rapport 4 — et donc par 9, 12, 16… vérifie :

A B C B B B C C C B C
  • par 3 :
A     B     C     B…
  • par 4 :
A       B       C…

L’intérêt, c'est qu’avec un peu d’amplitude dans le motif de base les parties en « fois 3 » et « fois 4 » sont suffisamment proches pour former une mélodie où l’on ne reconnaît plus le motif — c’est ainsi qu'est construite la partie des chœurs dans mon morceau, et le solo de basse, simplement transposé. (La dernière intervention des chœurs incorpore en outre des éléments du « fois 9 » ramenés à la même octave.) Par ailleurs, cela permet une ambiguïté rythmique rigolote : un 12/8 qui s’entend soit comme quatre temps ternaires (voir l’accompagnement « valse » des cordes), soit comme trois temps binaires (accompagnement « reggae » du sax) — ou les deux, du coup : ensemble, ou en faisant accompagner en ternaire la partie binaire et vice-versa. C’est aussi ce qui motive le « découpage » des notes de la basse qui permet de faire groover un chouille :

  • quatre temps ternaires :
A / / A / / A / / A / /
  • trois temps binaires :
A / / / A / / / A / / /
  • groove au total :
A / / A A / A / A A / /

Un mot sur les paroles : oui, elles sont inaudibles et c’est pas plus mal. Outre que c’est moi qui chante, et que c’est donc atroce avant traitement, elles sont encore très con, avec pour seul avantage de se conformer à une contrainte rythmique évidente vu ce que je viens de dire : vu que le morceau tire son peu de charme de l’ambiguïté entre ternaire et binaire, d’une part, que la mélodie peut se lire comme comportant 11 notes égales ou 7 notes rythmées, d’autre part, il est nécessaire que les paroles possèdent une double lecture, soit 4 alexandrins de 3 fois 4 pieds équivalent à 6 octosyllabes de 2 fois 4 pieds, comme dans deux strophes d’un poème d'Aragon tiré je crois des Yeux d’Elsa :

Ô revenants bleus de Vimy Vingt ans après
Morts à demi Je suis le chemin d’aube Hélice
Qui tourne autour de l’obélisque et je me risque
Où vous errez Malendormis malenterrés

qui peut se lire :

Ô revenants bleus de Vimy
Vingt ans après Morts à demi
Je suis le chemin d’aube Hélice
Qui tourne autour de l’obélisque
Et je me risque où vous errez
Malendormis malenterrés

(Je ne ferai pas de critique de cette strophe, étant donné la nullité de ce que j’ai moi-même pondu. Disons que les contraintes de rimes sont importantes dans cet exercice, y compris dans les histoires masculines/féminines, ce qui n’excuse pas les calembours vaseux.) En outre, il va de soi que le seul sujet possible était l’enchevêtrement des aspects cycliques et linéaires du temps. Mais avant de me creuser trop la tête, j’ai voulu voir si ça en valait la peine, si quelque chose pouvait sortir de cette idée. Allez, je te le remets :

Bonus

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Commentaires

1. Le mercredi 20 octobre 2010 à 22:12, par Vanessa Bourdin

Merci Cobab !!!

2. Le mercredi 20 octobre 2010 à 23:38, par Leo

Super interessant, merci Cobab!!
J'ai pas tout compris, mais c'est d'un interet surprenant que de calquer fractales avec musique...
Peut être qu'un jour j'arriverais a jouer avec un brocoli ou un romanesco ^^
Gros bizou! et court vite, te fait pas attraper par les flics ;)

3. Le jeudi 21 octobre 2010 à 11:03, par Cobab

Merci à vous d'être passés !

Léo : deja-vu.vincent-suy.com/i... ;o)

4. Le mardi 22 octobre 2013 à 18:34, par moncler

choquant. Vous voulez parlez de boules, beh on le fera mais ne vous étonnez pas que ça dérape… À moins que c’est ce que tu veux… À genou!

5. Le mardi 22 octobre 2013 à 18:35, par moncler

C’est vrai que les phocéens voudront prendre leur revanche , mais Beckham va débuter le match à la place de Verratti pour les battre

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